Matma Time Logo
Szkoła podstawowa / Liczby i działania / Potęgowanie

Potęgowanie w pigułce

Potęgi to nic innego jak skrócony zapis wielokrotnego mnożenia przez tę samą liczbę. Zamiast pisać
2⋅2⋅22 \cdot 2 \cdot 2
możemy użyć krótkiego zapisu
232^3
Brzmi prosto, ale w praktyce potęgowanie ma sporo ciekawych własności i wzorów, które warto znać. Poniżej znajdziesz krótki przewodnik po najważniejszych zasadach, z przykładami do każdej z nich.

1. Definicja potęgi

Jeśli chcemy pomnożyć liczbę a przez samą siebie n razy, to zapisujemy to jako:
an=a⋅a⋅⋯⋅a⏟n razy.a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ razy}}.
a nazywamy podstawą potęgi, a n wykładnikiem. Przykład:
2⋅2⋅2=23=8.2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8.
Mówimy wtedy, że „2 do potęgi trzeciej” równa się 8.

2. Kwadraty i sześciany

- Kwadrat to potęga z wykładnikiem 2, np.
525^2
czy
12212^2
.
- Sześcian to potęga z wykładnikiem 3, np.
737^3
czy
232^3
Przykłady:
42=164^2 = 16
– mówimy „cztery do kwadratu”.
33=273^3 = 27
– mówimy „trzy do sześcianu”.

3. Potęga zerowa i pierwsza

Istnieją dwa szczególne przypadki, które na początku mogą wydawać się trochę dziwne:
  • Potęga pierwsza:
    a1=aa^1 = a
    (dla każdej liczby rzeczywistej a). Jeśli wykładnik wynosi 1, wartość się nie zmienia.
  • Potęga zerowa:
    a0=1a^0 = 1 dla a≠0a \neq 0
    Każda niezerowa liczba podniesiona do zerowej potęgi daje 1.
Uwaga: wyrażenie
000^0
bywa w matematyce uznawane za „niedookreślone”. W wyższej matematyce czasem definiuje się je jako 1, ale to już inny temat.

4. Potęga o wykładniku ujemnym

Czasem pojawiają się potęgi z wykładnikiem ujemnym, np.
2−32^{-3}
czy
5−15^{-1}
Jak to rozumieć?
a−n=1an,dla a≠0.a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad \text{dla } a \neq 0.
Przykłady:
2−3=123=18.2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}.

5−1=15.5^{-1} = \frac{1}{5}.

5. Wykładnik ułamkowy

Potęga z wykładnikiem ułamkowym (np.
12\frac{1}{2}
,
34\frac{3}{4}
) może być rozumiana w kategoriach pierwiastków:
a1n=an,dla a≥0.a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad \text{dla } a \ge 0.
A jeśli mamy dodatkowo mnożenie w wykładniku, np.
amna^{\frac{m}{n}}
to:
amn=(am)1n=amn.a^{\frac{m}{n}} = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.
Przykłady:
912=9=3.9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3.

823=823=643=4.8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4.

6. Podstawowe własności działań na potęgach

Przy pracy z potęgami obowiązują pewne wzory, które znacznie ułatwiają obliczenia:
  • Mnożenie potęg o tej samej podstawie:
    am⋅an=am+n.a^m \cdot a^n = a^{m + n}.
  • Dzielenie potęg o tej samej podstawie:
    aman=am−n,(a≠0).\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}, \quad (a \neq 0).
  • Potęgowanie potęgi:
    (am)n=am⋅n.\bigl(a^m\bigr)^n = a^{m \cdot n}.
  • Iloczyn w potędze:
    (a⋅b)n=an⋅bn.(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n.
  • Iloraz w potędze:
    (ab)n=anbn,(b≠0).\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \quad (b \neq 0).
Przykłady:
23⋅24=23+4=27=128.2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128.

3532=35−2=33=27.\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27.

(23)2=23⋅2=26=64.\bigl(2^3\bigr)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64.

(45)2=4252=1625.\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}.

7. Przykłady z życia

- Powierzchnia kwadratu: Jeśli bok kwadratu ma długość x, to jego pole wynosi
x2x^2
.
- Objętość sześcianu: Jeśli krawędź sześcianu ma długość y, to objętość to
y3y^3
.
- Obliczenia naukowe: Potęgi pozwalają zapisywać bardzo duże (lub bardzo małe) liczby w prosty sposób, np.
10910^9
(miliard),
10−310^{-3}
(jedna tysięczna) itd.

8. Na co zwrócić uwagę?

  • Zero w podstawie:
    0n=00^n = 0
    dla n > 0. Ale
    000^0
    jest często uznawane za nieokreślone.
  • Ujemna podstawa: Zwracaj uwagę, czy wykładnik jest parzysty czy nieparzysty. Przykładowo
    (−2)2=4(-2)^2 = 4
    ale
    (−2)3=−8(-2)^3 = -8
  • Wykładniki ujemne i ułamkowe: Mogą wymagać dodatkowych założeń, np.
    a≠0a \neq 0
    a>0a > 0
    by uniknąć dzielenia przez zero czy pierwiastkowania liczb ujemnych.
Podsumowując, potęgi to niesamowicie przydatne narzędzie w matematyce – ułatwiają zapisywanie i obliczanie wielokrotnego mnożenia, pozwalają opisać duże i małe liczby, a ich własności przydają się w najróżniejszych dziedzinach, od geometrii po fizykę i chemię. Wystarczy opanować kilka podstawowych reguł, by sprawnie poruszać się w świecie wykładników i podstaw.Jeśli czujesz, że chcesz zgłębić temat bardziej, śmiało eksperymentuj z różnymi przykładami, sprawdzaj wzory w praktyce i nie bój się zadawać pytań. Powodzenia w potęgowaniu!
< Poprzedni
Quiz: Tabliczka potęgowania
Następny >
Quiz: Potęgowanie
Wróć do menu
🍪 Hej! Chcemy, żeby korzystanie z naszej strony było dla Ciebie jak najprzyjemniejsze! Dlatego używamy plików cookies, które pomagają nam poprawiać działanie serwisu. Korzystając z matmatime.pl, zgadzasz się na ich użycie. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, sprawdź naszą politykę prywatności. 😊